(metoda multiplicatorilor lui Lagrange), metodă de aflare a soluţiei optime a unei probleme de programare. T.L. constă, din punct de vedere matematic, în determinarea extremului (a maximului sau a minimului) unei funcţii de mai multe variabile, cu respectarea restricţiilor şi a condiţiilor de nenegativitate. Considerăm funcţia obiectiv
z = f(x
1, x2,…, xn) = max
şi restricţiile sub forma ecuaţiilor de echilibru şi a inegalităţilor de echilibru:
r
∅ (x
1, x2,…, xn) ≤ br (r = 1, 2,…, m),
în condiţiile x
i > 0. Pentru determinarea soluţiei
optime se construieşte o funcţie ajutătoare, numită funcţia lui Lagrange (L), ca o funcţie de variabilele x
1, x2,…, xn şi de multiplicatorii lui Lagrange λ1, λ2,…,
λ
m, având următoarea formă:
L(x
1, x2,…, xn; λ1, λ2,…, λm) = f(x1, x2,…, xn) +
+
(
)
[
]
n
2
1
r
r
m
1
r
r
x
,…,
x
,
x
b
∅
−
λ
∑
=
.
Funcţia lui Lagrange are proprietatea că, în domeniul soluţiilor admisibile, are aceleaşi valori ca funcţia obiectiv z. De aici rezultă că problema determinării extremului condiţionat al funcţiei z poate fi înlocuită cu aflarea extremului obişnuit al funcţiei lui Lagrange (prin derivarea funcţiei L în raport cu fiecare dintre variabile, egalarea fiecărei derivate parţiale cu zero şi rezolvarea sistemului de ecuaţii rezultat). Rezolvând această a doua problemă se pot afla valorile x
1, x2,…, xn pentru care ambele funcţii ating
valori extreme şi care depind de multiplicatorii determinaţi
λ
1, λ2,…, λm.
